超基本だけど入試にも出る!平方根の基礎問題【2日目】

超基本だけど入試にも出る!平方根の基礎問題【2日目】

突然ですが、この問題を見たらどうやって解きますか?

問 8の平方根を求めなさい。

ひよこ君
えっと、2乗して8になる数はないから、±√8かな?
にわとり先生
残念!考え方はバッチリだけど、この問題は工夫が必要なんだ。

この問題は、2018年春の高校入試で実際に出題されたものなんです。

今はまだ難しそうに見えるかもしれませんが、このページを読んでスラスラ解けるようにしていきましょう!

ひよこ君
高校入試の問題か・・・難しそうだなぁ・・・

やり方さえ分かれば大丈夫!早速見ていきましょう。

 

ルートの中身を整理しよう

このページでも解説しましたが、→【1日目】平方根ってなに?

2乗してできない数字はルートを使って表すんでしたよね。

ひよこ君
たとえば??

 

 

では、先ほどの入試問題は、なぜ±√8だとダメなんでしょう?

 

にわとり先生
ズバリ!ルートの中身は整理しないとダメなのよ!

そうなんです。何でもかんでもルートを使って表していくと、とっても見づらい。

 

なので、ルートの中身をスッキリさせないと正解にはなりません。

ではどうやってルートの中身を整理するのかを見ていきましょう!

ルート内の数字をバラして外に出そう

ルートの中を整理するには、ルートの中にある数字をバラしてみましょう。

先ほどの√8で見てみると、

にわとり先生
2を3回かけると8になるよね。

ここで整理ポイント!

ルートの中身は、同じ数字が2つそろったらルートの外に出せるんです。

 

ひよこ君
左の2は整数で、右の2は平方根ってこと??
にわとり先生
その通り!√2×√2=2なので、整数をルートの外に出したよ。

これでルートの中身がスッキリしました!

 

√8=2√2という風に計算することができるんですね。

というわけで、

問 8の平方根を求めなさい。

この答えは

答 ±2√2

になります。

ひよこ君
うーん、まだちょっとよく分からないなぁ。

まだ見慣れないので、よく分からなくても大丈夫!

早速何問か一緒に解いてみましょう。

問  12の平方根を求めなさい。

ひよこ君
2乗して12になる整数はないから、±√12!

と、言いたいところですが・・・

にわとり先生
これも√の中身を整理しないといけないよ。

では、まず12をバラしてみましょう。

 

12をバラすと2×2×3。

同じ数字が2つ出てきたら・・・

 

ひよこ君
外に出すんだね!

というわけで、

問  12の平方根を求めなさい。

この答えは・・・

答  ±2√3

になります。

にわとり先生
よし、もう一問解いてみよう。

問  18の平方根を求めなさい。

ひよこ君
18の平方根は±√18だけど、18をバラして〜

 

18をバラすと、2×3×3。

同じ数字が2つ出てきたらルートの外に出して・・・

 

ひよこ君
答えは±3√2かな?
にわとり先生
大正解!

というわけで、

問  18の平方根を求めなさい。

この答えは・・・

答  ±3√2

となります。

にわとり先生
ちょっと分かってきたかな?
ひよこ君
なんとなく分かってきた!

素早く整理できるようになろう

いま、ルートの中身を整理できる問題だけを解いてみましたが、

実際のテストや入試問題で出てくるのは、整理できる問題も整理できない問題もごちゃまぜ。

時間制限もある中で、整理できるかどうかを素早く見極めていかないといけません。

そこで使えるのが

この記号。

ひよこ君
なにこれ?
にわとり先生
割り算をする時に書く記号が逆さまになってるね。

 

ルートの中身が整理できるかどうかは、この記号を使って計算していくと楽です。

にわとり先生
使い方を紹介するね。

たとえば、先ほど解いたこの問題を例に見ていきます。

問 18の平方根を求めなさい。

まずは18の下に記号を書いていきます。

次に、18は何の数字で割れるかを考えます。

このとき、できるだけ小さい数字で割ってみてください。

ひよこ君
小さい数っていうと、2で割れるかな。

では2を書き足していきましょう。今度は記号の左側に書きます。

次は、18÷2の答えを下に書いていきます。

ひよこ君
9だね。

次に、9の下に新しく記号を書きます。

今度は、この9が何の数字で割れるかを考えます。

できるだけ小さい数字で割ってみてください。

ひよこ君
9は3で割れるね。

では3を書き足していきましょう。今度は新しく書いた記号の左側に書きます。

次は、9÷3の答えを下に書いていきます。

ひよこ君
うんうん。3だね。

今度は、この3が何の数字で割れるかを考えます。

ひよこ君
もう割れないよ!

はい。では、これで計算終了です。

記号の左側と、一番下に書いた数字を見てみてください。

ひよこ君
2と3と3。あ、これって・・・
にわとり先生
さっきルートの中に書いていた数字だね。

この記号を使うことで、ルートの中身が大きくても整理しやすくなります。

たとえば・・・

問 162の平方根を求めなさい。

こんな問題を解くとき、パッと見ただけでは答えが出ませんよね。

にわとり先生
こういう時にさっきの記号を活用しよう!

まずは162を記号の中に書いていきます。

 

次に、162は何の数字で割れるかを考えます。

できるだけ小さい数字で割ってください。

ひよこ君
2で割れそうだよ!

では2を書き足していきましょう。記号の左側に書きます。

次は、162÷2の答えを下に書いていきます。

ひよこ君
81だね!

次に、81の下に新しく記号を書きます。

今度は、この81が何の数字で割れるかを考えます。

できるだけ小さい数字で割ってください。

ひよこ君
え~と、2では割れない。3で割れるね!

では3を書き足していきましょう。今度は新しく書いた記号の左側に書きます。

次は、81÷3の答えを下に書いていきます。

 

また27の下に新しい記号を書きます。

今度は、この27が何の数字で割れるかを考えます。

できるだけ小さい数字で割ってください。

ひよこ君
また3で割れるよ!

では3を書き足していきましょう。新しく書いた記号の左側に書きます。

次は、27÷3の答えを下に書いていきます。

今度は、この9が何の数字で割れるかを考えます。

ひよこ君
どんどん数字が小さくなってきたね。

3で割れるので、新しい記号と3を書き足していきます。

では9÷3の答えを下に書いていきます。

さて、最後の3はこれ以上割れないので、これで計算終了。

出てきた数字を見てみると・・・

2と3と3と3と3。ということは、√162を整理すると・・・

こうなります。

にわとり先生
さあ、同じ数字をルートの外に出していくよ~。
ひよこ君
先生!3が4つもあるよ!?

こういう場合は、まず1つのペアを外に出してみましょう。

次にもう1つのペアを外に出して、外に出た数字同士をかけます。

 

にわとり先生
これで完了だよ!

ということで、

問 162の平方根を求めなさい。

の答えは、

答 ±9√2

となります。プラスマイナスの記号も忘れないようにしてくださいね。

ひよこ君
記号を使って順番どおりに計算すると、大きい数字でもカンタンに答えが出せるね!

にわとり先生
そうなんだ。ケアレスミスも少なくなるからこの記号を使って計算してみてね。

今日のまとめ問題

ルートの中身のまとめ方、だんだんと分かってきましたか?まずはたくさん問題を解いて、どんな出題パターンがあるのか知りましょう。

にわとり先生
では、今日のまとめ問題10問!!

問1.  8の平方根を求めなさい。

問2.  12の平方根を求めなさい。

問3.  18の平方根を求めなさい。

問4.  20の平方根を求めなさい。

問5.  √24を簡単にしなさい。

問6.  √27を簡単にしなさい。

問7.  50の平方根を求めなさい。

問8.  108の平方根を求めなさい。

問9.  300の平方根を求めなさい。

問10.  330の平方根を求めなさい。

 

ひよこ君
よーし、できた!!
にわとり先生
さあ、まずは丸つけだね。

【答え】問1. ±2√2、 問2. ±2√3、 問3. ±3√2、 問4. ±2√5、 問5. ±2√6、 問6. ±3√3、 問7. ±5√2、 問8. ±6√3、 問9. ±10√3、 問10. ±√330

にわとり先生
では、解説していくよ~。

まとめ問題の解説

問1.  8の平方根を求めなさい。

8の平方根は±√8。ルートの中身が整理できるか見ていきましょう。

まずは8をバラして・・・

2と2と2にバラすことができました。なので・・・

こうなります。

にわとり先生
では、2つそろった数字をルートの外に出していくよ~。

ひよこ君
答えは±2√2だね!
にわとり先生
そう!これはさっきも解いた問題だからできたかな?

問2.  12の平方根を求めなさい。

12の平方根は±√12。ルートの中身が整理できるか見ていきましょう。

まずは12をバラして・・・

2と2と3にバラすことができました。なので・・・

こうなります。

次にそろった数字を外に出しましょう。

これで完成。

にわとり先生
プラスマイナスの記号を忘れないようにね!

問3.  18の平方根を求めなさい。

18の平方根は±√18。ルートの中身が整理できるか見ていきましょう。

まずは18をバラして・・・

2と3と3にバラすことができました。なので・・・

こうなります。

次にそろった数字を外に出しましょう。

これで完成。

ひよこ君
だんだん慣れてきたよ!

問4.  20の平方根を求めなさい。

20の平方根は±√20。ルートの中身が整理できるか見ていきましょう。

まずは20をバラして・・・

2と2と5にバラすことができました。なので・・・

こうなります。

次にそろった数字を外に出しましょう。

これで完成。

ひよこ君
数字が大きくなってきたよ~
にわとり先生
大丈夫!焦らず数字をバラしていこう!

問5.  ±√24を簡単にしなさい。

ひよこ君
この問題、今までと違うからびっくりしたよ!
にわとり先生
落ち着いて。今までと同じ様に解けばいよ。

今までは「平方根を求めなさい。」という問題だったのに、

今回は「簡単にしなさい。」という問題に変わりました。

でも大丈夫。

つまり、いつものように±√24を整理してあげれば良いだけです。

ではルートの中身が整理できるか見ていきましょう。

まずは24をバラして・・・

2と2と2と3にバラすことができました。なので・・・

こうなります。

次にそろった数字を外に出しましょう。

にわとり先生
2を外に出したあと、ルートの中の2×3はそのまま計算するよ~。

これで完成。

ひよこ君
な~んだ、びっくりしたよ。

問6.  √27を簡単にしなさい。

 

これも同じくルートの中身を整理すれば良いだけ。

まずは27をバラして・・・

3と3と3にバラすことができました。なので・・・

こうなります。

次にそろった数字を外に出しましょう。

これで完成。

問7.  50の平方根を求めなさい。

50の平方根は±√50。ルートの中身が整理できるか見ていきましょう。

まずは50をバラして・・・

2と5と5にバラすことができました。なので・・・

こうなります。

次にそろった数字を外に出しましょう。

これで完成。

問8.  108の平方根を求めなさい。

108の平方根は±√108。ルートの中身が整理できるか見ていきましょう。

まずは108をバラして・・・

にわとり先生
できるだけ小さい数から割るのがポイントだったね!

2と2と3と3と3にバラすことができました。なので・・・

こうなります。

次にそろった数字を外に出しましょう。

これで完成。

ひよこ君
ちょっとややこしかったけど、順番通りに解いたらできた!

問9.  300の平方根を求めなさい。

300の平方根は±√300。ルートの中身が整理できるか見ていきましょう。

まずは300をバラして・・・

2と2と3と5と5にバラすことができました。なので・・・

こうなります。

次にそろった数字を外に出しましょう。

これで完成。

にわとり先生
大きい数字が出てきても落ち着いて解けばできるよ。

問10.  330の平方根を求めなさい。

ひよこ君
先生!この問題、分らなかったよ!!
にわとり先生
ふふ・・この問題は少しひっかけ問題だね。

330の平方根は±√330。ルートの中身が整理できるか見ていきましょう。

まずは330をバラして・・・

2と3と5と11にバラすことができました。なので・・・

こうなります。

ひよこ君
うんうん、ここまではできた・・・

次にそろった数字を外に出しましょう。

 

330をバラしてみても同じ数字がでてこないので、±√330は整理できません。

答えは、±√330で大丈夫。

ひよこ君
うそーん。330って大きい数字だけど、整理できないんだね。
にわとり先生
たとえ大きい数字でも、2つ数字が揃わなかったら整理できないよ。

2日目終了!

お疲れ様でした。ここまで間違わずに解けたら、平方根の問題の1番大事なところが身についていますよ!

実際のテストや入試問題では、整理できない問題もごちゃまぜに出題されます。

ひっかけ問題にうまくひっかからないように、1問1問落ち着いて解いていきましょう。

今日のまとめ問題10問で1つでも間違えてしまった方は、カンペキに解けるようにもう一度最初から読み直してみてくださいね。

にわとり先生
うまく解けたかな?
ひよこ君
1問間違えた~!もう1回まとめ問題を解いてみるよ!

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